نظرية 1 كل تسلسل Cauchy للأرقام الحقيقية يتقارب إلى حد.
كيف تجد حد تسلسل كوشي؟
إثبات: حد تسلسل كوشي an=limn → ∞an.
هل يتقارب كل تسلسل كوشي؟
كل تسلسل حقيقي متقارب. نظرية
هل كل التسلسلات المتقاربة لها حدود؟
ومن ثم بالنسبة لجميع التسلسلات المتقاربة يكون الحد فريدًا. لنفترض أن {an} n∈N متقاربة. ثم من خلال Theorem 3.1 يكون الحد فريدًا ولذا يمكننا كتابته كـ l ، على سبيل المثال.
هل يمكن أن يتقارب التسلسل مع حدين مختلفين؟
هذا يعني أن L1 - L2=0 ⇒ L1=L2 ، وبالتالي لا يمكن أن يكون للتسلسل حدين مختلفين. لهذا ϵ ، نظرًا لأن a يتقارب مع L1 ، لدينا فهرس N1 بحيث | an −L1 | N1. في نفس الوقت ، يتقارب a إلى L2 ، وبالتالي يوجد فهرس N2 بحيث | an −L2 | N2
